Turunan Fungsi

Pelajaran matematika kali ini akan membahas tentang "Turunan" atau yang dikenal dengan nama lain "Differensiasi".

Dalam penelitian fisika, seperti bandul menggunakan turunan, pergerakannya mempunyai nilai yang dapat di gunakan sebagai turunan. Seperti halnya dengan lempar lembing,lempar cakram, menembak, dan lain – lain. Setiap waktu dan percepatannya mempunyai nilai yang dapat mengetahui penurunan. Begitu juga penurunan di gunakan dalam astronomi,geografi,dan ekonomi.

Hubungan limit dan turunan

Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, laju perubahan sesaat nilai fungsi merupakan limit dari laju perubahan rata-rata apabila nilai h sangat kecil mendekati nol yang dapat dituliskan sebagai berikut.

Konsep limit tersebut merupakan definisi turunan fungsi f(x) di sekitar x = a. Konsep ini merupakan dasar untuk menentukan turunan suatu fungsi. Secara umum, dapat dituliskan sebagai:

Contoh 1:
Tentukan turunan dari f(x) = 4x2 .

Penyelesaian:

Tentukan dahulu nilai f(x) dan f(x + h).

Oleh karena f(x) = 4x2 , maka:

f(x + h) = 4 (x + h)2 = 4 (x2 + 2xh + h2 ) = 4x2 + 8xh + 4h2 .

Dengan demikian, diperoleh:

Jadi, turunan dari f(x) = 4x2 adalah f '(x) = 8x.

Contoh 2:
Tentukan turunan dari f(x) = 3x - 2.

Penyelesaian:

Oleh karena f(x) = 3x - 2, maka:

f(x + h) = 3 (x + h) - 2 = 3x + 3h - 2

Dengan demikian, diperoleh:

Jadi, turunan dari f(x) = 3x - 2 adalah f '(x) = 3.

Nyo'al

Soal No. 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
b) f(x) = 2x³ + 7x

Pembahasan
Rumus turunan fungsi aljabar bentuk axⁿ 

Sehingga:
a) f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
f '(x) = 4⋅3x^{4− 1} + 2⋅2x²⁻¹ − 5x^1-1
f '(x) = 12x³ + 4x¹ − 5x⁰
f '(x) = 12x³ + 4x − 5

b) f(x) = 2x³ + 7x
f '(x) = 6x² + 7

Soal No. 2
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 10x
b) f(x) = 8
c) f(x) = 12

Pembahasan
a) f(x) = 10x
f(x) = 10x¹
f '(x) = 10x¹⁻¹
f '(x) = 10x⁰
f '(x) = 10

 

b) f(x) = 8
f(x) = 8x⁰
f '(x) = 0⋅ 8x⁰⁻¹
f '(x) = 0

 

c) f(x) = 12
f '(x) = 0

Soal No. 3
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Pembahasan
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
f(x) = 10x² + 20x
f ' (x) = 20x + 20

b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Urai terlebih dahulu hingga menjadi
f (x) = 10x² + 8x + 15x + 12
f (x) = 10x² + 13x + 12

Sehingga
f ' (x) = 20x + 13

Soal No. 4
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

a)    b)    c)

Pembahasan

a)

b)

c)

Soal No. 5
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut, nyatakan hasil akhir dalam bentuk akar

a)b)c)

Pembahasan

a)

b)

c)

Soal No. 6
Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi berikut ini 

 

Tentukan turunan untuk f(x) = (x² + 2x + 3)(4x + 5)

Pembahasan
Misal :
u = (x² + 2x + 3)
v = (4x + 5)

maka
u ' = 2x + 2
v ' = 4

sehingga penerapan rumus di atas menjadi 

 

Soal No. 7Diketahui

Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ' (0) =...
A. − 10
B. − 9
C. − 7
D. − 5
E. − 3
(Soal UN 2008)

Pembahasan
Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah 

 

Berikutnya menentukan turunan f (x) yang berbentuk hasil bagi fungsi 

 

Misal:
u = x² + 3    ->    u' = 2x
v = 2x + 1    ->    v' = 2

Sehingga

Untuk nilai x = 0 langsung bisa dimasukkan saja seperti ini

Sehingga f(0) + 2f' (0) = 3 + 2(−6) = − 9